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为乐趣与收益加上浮点小数

来源: blog.vero.site — 2026-08-30

很多人都知道不该用浮点数算美元和美分，因为十进制数无法被精确表示，0.1 + 0.2 会得到 0.30000000000000004。但作者发现，把 0.01 的倍数两两相加时，很多时候结果完全正确，于是他从 IEEE 双精度的符号位、指数位、尾数位讲起，一步步把那张漂亮的误差图解释清楚。

核心要点

双精度浮点数由 1 位符号、11 位指数和 52 位尾数组成，数值为 ±2^E(1+F/2^52)，最后一位尾数的有效值就是 ulp（unit in the last place）。
把 0.01 的倍数两两相加画成热力图，会出现大片「结果完全正确」的区域，与向上、向下偏差交织成图案。
通过分析 0.1 + 0.2 的具体加法过程可以证明：两数之和与精确值的偏差 Δ 只可能是 -ulp(c)、0 或 +ulp(c)，也就是最多差一个 ulp。
更紧的推导把误差拆成 error(a)+error(b)-error(c)=δ，得到 δ/ulp(c) 落在 [-1, 1]，那张离散图因此是更连续版本的取整结果。
原本看着玄学的棋盘格，来自把浮点数舍入到偶数尾数时，δ 恰好等于 ±ulp(c)/2 的边界区域。

众所周知，0.1 + 0.2 不等于 0.3，而是 0.30000000000000004。