阶乘到底有多大：不用计算器估出 52! 的位数
来源：eli.thegreenplace.net — eli.thegreenplace.net · 31 分 · by ibobev
📋 概述
作者从「52! 有多大」出发，给出一个可以口算的位数近似：n! 的位数约等于 n·log₁₀(n/e) + 2。以 52! 为例，52 除以 e 约 20，log₁₀(20) 约 1.3，代入得约 69 位，真实答案 68 位，误差只有一位。文章随后补上数学背景：Gamma 函数如何把阶乘插值到正实数，Stirling 近似又是怎么从 Gamma 函数与 Laplace 方法一步步推出来的。
🔑 核心要点
- 位数近似公式是 n·log₁₀(n/e) + 2，52! 估出 69 位、真实 68 位。
- Gamma 函数满足 Γ(n+1) = nΓ(n)，是阶乘在正实数上的插值。
- 由 Γ(1)=1 出发归纳可得 Γ(n+1) = n!。
- Stirling 近似 √(2πn)·(n/e)ⁿ 由 Gamma 函数配合 Laplace 方法导出。
- 那个 +2 在 n 小于约 1600 之前都成立。
💡 金句
在这种量级的估算里，差上一两位数字通常不是什么大事。
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