斐波那契螺旋其实是一条被折起来的直线

📋 概述

你见过无数次的那张图：边长 1、1、2、3、5、8 的正方形像拼图一样咬合，一条光滑的螺线从中穿过。作者的 three.js 实验问了个简单问题——把它展开会怎样。他把每个正方形铰接到邻居上按下播放，螺旋一圈圈松开，最后完全摊平：一条穿过所有正方形的直线。这不是花招，而是几何必然。因为经典斐波那契螺旋并不是一条曲线，而是一串四分之一圆弧，每段弧的半径正好等于所在正方形的边长；而正方形内的四分之一圆弧连接的是两个对角点，所以弧的弦恰好就是对角线，长度为边长乘根号二。把每个正方形绕相接点旋转到所有对角线同方向，再用动画把弧变形为弦，螺旋就还原成直线。这个展开还给出可预先验算的预测：展开总长等于根号二乘以斐波那契前 n 项之和，即根号二乘以 F(n+2) 减一，九块正方形相加为 88，直线正好 88 乘根号二，约 124.45。